Rechnen mit dem Zweierkomplement

Die Darstellung ganzer Zahlen erfordert auch die Darstellung negativer Zahlen. Da das duale Zahlensystem kein negatives Vorzeichen kennt, muss man auf ein Hilfsmittel zurückgreifen. Dabei wird das erste Bit einer Bitfolge als Vorzeichenbit missbraucht und der Wert 0 den positiven Zahlen zugerechnet.

 0 (0000) / -8 (1000)
+1 (0001) / -7 (1001)
+2 (0010) / -6 (1010)
+3 (0011) / -5 (1011)
+4 (0100) / -4 (1100)
+5 (0101) / -3 (1101)
+6 (0110) / -2 (1110)
+7 (0111) / -1 (1111)

Die Zweierkomplementdarstellung ist die gebräuchliche Form ganzer positiver und negativer Zahlen.

Zweierkomplementdarstellung

Subtraktion von Dualzahlen mittels Zweierkomplementbildung

Für die Subtraktion von Dualzahlen gibt es in der Digitaltechnik keine logische Verknüpfung. Deshalb behilft man sich mit der Zweierkomplementbildung. Dabei werden die dualen Zahlen addiert, wobei das Ergebnis einer Subtraktion entspricht.

2   -  6   = -4
2 + ( -6 ) = -4

Die Subtraktion ist eine Form der Addition, bei der ein Summand ein negatives Vorzeichen hat. Das negative Vorzeichen löst dabei die Addition auf. Die Addition wird zur Subtraktion. Das Ganze lässt sich auch wieder umkehren. Bei der Subtraktion von Dualzahlen macht man sich das zu Nutze, indem man zuerst den Zweierkomplement der negativen Zahl bestimmt.

Zuerst muss der Zweierkomplement für die negative Zahl gebildet werden.
Anschließend kann eine Addition mit der negativen Zahl durchgeführt werden.

Beispiel

Für das Subtrahieren von dualen Zahlen gibt es keine logische Verknüpfung.

Genau genommen handelt es sich bei der Subtraktion um eine Addition mit einer negativen Zahl.

Hilfreich ist hier die Darstellung in der dezimalen Schreibweise.

Das Problem ist nur, duale Zahlen haben kein Vorzeichen. Sie werden immer als positiv angenommen.

Das Problem mit der negativen Zahl löst man, in dem man den Zweierkomplement bildet.

Zuerst werden Minuend und Subtrahend auf die volle Stellenzahl erweitert. Beispielsweise 4 Bit.

Dann werden die binären Stellenwerte des Subtrahenden negiert beziehungsweise es wird das bitweise Komplement gebildet.

Das bitweise Komplement von Null Eins Eins Null ist Eins Null Null Eins.

Das Zweierkomplement wird durch hinzuaddiert von Null Null Null Eins gebildet.

Dann wird die eigentliche Subtraktion durchgeführt,

bei der es sich um eine Addition von Minuend und dem Zweierkomplement handelt.

Das Ergebnis Eins Eins Null Null entspricht Minus Vier.

Vorteile beim Rechnen mit dem Zweierkomplement

Bei der Addition von Minuend und Subtrahend kann es wie bei einer normalen Addition zu einem Stellenüberlauf kommen. Der Stellenüberlauf wird ignoriert. Das Ergebnis wird mit gleicher Stellenanzahl wie Minuend und Subtrahend interpretiert.

  15 +    1 =    16 (10)
1111 + 0001 = 10000 (2)

Nehmen wir an, wir haben eine dezimale Ganzzahl "15" (10) in der dualen Darstellung ohne Zweierkomplement "1111" (2) und addieren den dezimalen Wert "1" (10) in der dualen Darstellung "0001" (2) hinzu? Dann käme es zu einem Überlauf und dem Wert "0000" (2). Das Ergebnis wäre "0" (10) und somit falsch.

  -1 +    1 =     0 (10)
1111 + 0001 = 10000 (2)

Wenn man jetzt definieren würde, dass die duale Zahl "1111" (2) dem dezimalen Wert "-1" (10) entspricht, und würde dann den Wert "1" (10) addieren, dann könnte man den Überlauf ignorieren und das Ergebnis wäre korrekt.