Rechnen mit dem Zweierkomplement

Die Darstellung ganzer Zahlen erfordert auch die Darstellung negativer Zahlen. Da das duale Zahlensystem kein negatives Vorzeichen kennt, muss man auf ein Hilfsmittel zurückgreifen. Dabei wird das erste Bit einer Bitfolge als Vorzeichenbit missbraucht und der Wert 0 den positiven Zahlen zugerechnet.

 0 (0000) / -8 (1000)
+1 (0001) / -7 (1001)
+2 (0010) / -6 (1010)
+3 (0011) / -5 (1011)
+4 (0100) / -4 (1100)
+5 (0101) / -3 (1101)
+6 (0110) / -2 (1110)
+7 (0111) / -1 (1111)

Die Zweierkomplementdarstellung ist die gebräuchliche Form ganzer positiver und negativer Zahlen.

Subtraktion von Dualzahlen mittels Zweierkomplementbildung

Für die Subtraktion von Dualzahlen gibt es in der Digitaltechnik keine logische Verknüpfung. Deshalb behilft man sich mit der Zweierkomplementbildung. Dabei werden die dualen Zahlen addiert, wobei das Ergebnis einer Subtraktion entspricht.

2   -  6   = -4
2 + ( -6 ) = -4

Die Subtraktion ist eine Form der Addition, bei der ein Summand ein negatives Vorzeichen hat. Das negative Vorzeichen löst dabei die Addition auf. Die Addition wird zur Subtraktion. Das Ganze lässt sich auch wieder umkehren. Bei der Subtraktion von Dualzahlen macht man sich das zu Nutze, indem man zuerst den Zweierkomplement der negativen Zahl bestimmt.

  1. Zuerst muss der Zweierkomplement für die negative Zahl gebildet werden.
  2. Anschließend kann eine Addition mit der negativen Zahl durchgeführt werden.

Beispiel

Minuend - Subtrahend = Ergebnis

1. Zweierkomplement des Subtrahenden bilden

  10 -  110 = ?
0010 - 0110 = ?

Der Subtrahend wird auf die volle Stellenzahl erweitert (Nullen nach links auffüllen). Hierbei muss die Breite der Komplementdarstellung beider Zahlen berücksichtigt werden. Üblich sind 4, 8, 16, 32 und 64 Bit.

0110 -> 1001

Die einzelnen Stellenwerte des Subtrahenden werden negiert bzw. es wird das bitweise Komplement gebildet. Das bitweise Komplement von 0110 ist 1001.

1001 + 0001 = 1010

Dann wird daraus das Zweierkomplement gebildet. Das bedeutet, es wird eine 1 hinzuaddiert.

2. Addition

0010 + 1010 = 1100

Minuend und Zweierkomplement werden addiert. Das Ergebnis ist -4.

Vorteile beim Rechnen mit dem Zweierkomplement

Bei der Addition von Minuend und Subtrahend kann es wie bei einer normalen Addition zu einem Stellenüberlauf kommen. Der Stellenüberlauf wird ignoriert. Das Ergebnis wird mit gleicher Stellenanzahl wie Minuend und Subtrahend interpretiert.

  15 +    1 =    16 (10)
1111 + 0001 = 10000 (2)

Nehmen wir an, wir haben eine dezimale Ganzzahl "15" (10) in der dualen Darstellung ohne Zweierkomplement "1111" (2) und addieren den dezimalen Wert "1" (10) in der dualen Darstellung "0001" (2) hinzu? Dann käme es zu einem Überlauf und dem Wert "0000" (2). Das Ergebnis wäre "0" (10) und somit falsch.

  -1 +    1 =     0 (10)
1111 + 0001 = 10000 (2)

Wenn man jetzt definieren würde, dass die duale Zahl "1111" (2) dem dezimalen Wert "-1" (10) entspricht, und würde dann den Wert "1" (10) addieren, dann könnte man den Überlauf ignorieren und das Ergebnis wäre korrekt.

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