Umrechnen einer Gleitkommazahl in die Gleitkommadarstellung

Die Dezimalzahl 18,4 soll in die binäre Gleitkommadarstellung umgerechnet werden. Der Ablauf besteht in der Regel aus 6 Schritten. Die Reihenfolge der einzelnen Schritte oder gesonderten Teilschritte kann auch anders erfolgen.

Prinzipiell besteht der Ablauf daraus, die Zahl umzurechnen, zu normalisieren, den neuen Exponenten zu ermitteln, das Vorzeichen zu bilden und anschließend die Werte Vorzeichen, Charakteristik (Exponent) und Mantisse zusammen zu setzen.

1. Vorkommazahl umrechnen

Im ersten Schritt wird für die Vorkommazahl 18 die Dualzahl ermittelt. Hier wird das Teiler- bzw. Divisions-Verfahren angewendet.

Vorkommazahl umrechnen

2. Nachkommazahl umrechnen

Im zweiten Schritt wird für die Nachkommazahl 0,4 die Dualzahl ermittelt. Dabei wird die Multiplikationsmethode angewendet.
Als Zwischenergebnis entsteht eine duale gebrochene Zahl.

Nachkommazahl umrechnen

Ergebnis aus Schritt 1 und 2: 18,4 = 10010,011001100110011001101100100...

3. Normieren bzw. Normalisieren (Mantisse ermitteln)

Bei der Normalisierung verschiebt man das Komma so, das man eine normalisierte Zahl erhält. Zum Beispiel 1,0101 (2) oder 0,123 (10). Dabei greift man auf die Exponentialdarstellung zurück, damit die Zahl ihren Wert behält.

10010,01100110011... * 20
1,001001100110011... * 24 (Normalisierung)

Bei der Normalisierung geht es darum, dass man nur die Nachkommastellen speichern möchte. Bei der binären Darstellung von Zahlen steht vorne immer eine Eins (1). Diese Vorkomma-Eins kann man beim Speichern bzw. bei der Darstellung weglassen (hidden bit), weil hier immer eine Eins steht. Dafür hat man hinten eine Stelle mehr für die Genauigkeit.

4. Exponent umrechnen (Charakteristik ermitteln)

Der Exponent wird auch als Charakteristik bezeichnet, weil er einen Offset bzw. Versatz hat, der als Bias oder Exzess bezeichnet wird. Gemeint ist, dass der Wertebereich verschoben ist. Das macht man deshalb, damit der Exponent immer positiv oder mindestens Null ist. Dadurch spart man sich ein Bit für Darstellung des Vorzeichens des Exponenten. Die Bias-Darstellung erleichtert auch den Größenvergleich. Nachteil, es gibt eine positive Null (+0) und eine negative Null (-0).
Seltene Alternativen sind auch das Zweierkomplement und das Einerkomplement.

Um wie viel der Wertebereich verschoben wird, hängt von der gewählten Genauigkeit (Anzahl der Bits) ab.

  • Einfach Genauigkeit (32 Bit) bedeutet einen Bias von 127.
  • Doppelte Genauigkeit (64 Bit) bedeutet einen Bias von 1023.

Da wir mit einer einfachen Genauigkeit (32 Bit) arbeiten entspricht das einem Versatz (Bias) von 127.

Im Prinzip zieht man den Bias vom ermittelten Exponenten (durch die Normalisierung) ab und erhält auf diese Weise die Charakteristik.

Charakteristik (neuer Exponent) = Exponent + Bias = 4 + 127 = 131

Anschließend rechnet man die Charakteristik in eine duale Zahl um.

Exponent umrechnen

5. Vorzeichen bestimmen

  • Positiv = 0
  • Negativ = 1

6. Gleitkommazahl bilden (mit einfacher Genauigkeit)

Gleitkommazahl bilden

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