Matrix / Matrizen (Mathematik)

Eine Matrix ist in der Mathematik eine rechteckige Anordnung von Zahlen (oder allgemein Werten), die in Zeilen und Spalten angeordnet sind. Man kann sich das wie eine Tabelle vorstellen. Dass es sich um eine Matrix handelt, wird durch Klammern gekennzeichnet.
Die Größe einer Matrix wird durch die Anzahl ihrer Zeilen und Spalten angegeben. Einzelne Einträge der Matrix werden meist mit zwei Indizes bezeichnet, die ihre Position in der jeweiligen Zeile und Spalte angeben.
Matrizen sind ein grundlegendes Werkzeug der linearen Algebra und werden verwendet, um lineare Gleichungssysteme darzustellen und zu lösen sowie Transformationen und viele andere mathematische Probleme zu beschreiben.

Hinweis: Matrizen ist die Mehrzahl von Matrix!

Matrix (Einzahl/Singular): Diese Matrix hat 3 Zeilen.
Matrizen (Mehrzahl/Plural): Diese Matrizen werden multipliziert.

Den Begriff „Matrize“ (Einzahl) wird in der Mathematik nicht verwendet.

Wozu werden Matrizen in der Informatik verwendet?

Matrizen werden in der Informatik benutzt, um viele Werte gleichzeitig zu organisieren und Rechenoperationen auf ganze Datensätze anzuwenden. Typische Anwendungen sind:

Lineare Algebra und mathematische Modelle
Grafikberechnungen (z. B. 3D-Transformationen)
Berechnungen in der Physik und Ingenieurswesen
Machine Learning und Künstliche Intelligenz

Was ist ein Vektor?

Ein Vektor ist ein Spezialfall von Matrizen. Einen Vektor kann man sich als Matrix mit nur einer Spalte oder einer Zeile vorstellen.

Matrix und Vektor

Das heißt, eine Matrix kann auf einen Vektor angewendet werden, zum Beispiel durch Matrix-Vektor-Multiplikation. Dabei wird ein Vektor transformiert. In der Geometrie kann das z. B. drehen, skalieren (strecken oder stauchen) oder spiegeln bedeuten.

Warum Matrizen und Vektoren für KI wichtig sind

Matrix-Berechnung

Die Daten von künstlichen neuronalen Netzen werden oft als Matrizen dargestellt. Auch die Gewichte zwischen Neuronen werden in Matrizen gespeichert. Mathematische Operationen können dann auf eine Matrix gleichzeitig angewendet werden, anstatt auf jede einzelne Zahl in der Matrix. Genau das macht Matrizen so nützlich für viele gleichartige Berechnungen.
Dafür haben moderne Prozessoren spezielle Rechenwerke, die diese Matrix-Operationen parallel und damit besonders schnell ausführen können.

Beispiel mit Matrix-Berechnungen

Koordinatensystem

Wir haben beispielhaft ein Koordinatensystem mit 5 Zeilen und 5 Spalten. In diesem Koordinatensystem befinden sich 3 Punkte. Wir wollen wissen, ob Punkt A oder Punkt B näher an Punkt C ist.
Da das Koordinatensystem wie eine Matrix aufgebaut ist, lässt sich das mit Matrix-Berechnungen herausfinden.

Es gibt verschiedene Methoden zur Distanzberechnung. Zum Beispiel die Kosinus-Ähnlichkeit oder Manhattan-Distanz. Die anschaulichste ist die Euklidische Distanz. Sie misst die direkte Luftlinie zwischen zwei Punkten.