Forum

Hallo zusammen,

meine Suche im Netz hat leider nichts gebracht, daher wende ich mich mal an euch.

Bild des Tiefpasses:
http://lp.uni-goettingen.de/get/image/4509

Wenn ich eine Rechteckspannung der Form
U(t) = U_0 für t < T/2
U(t) = 0 für T/2 < t < T
an einen Tiefpass anlege, reagiert dieser je nach Frequenz dieser Spannung anders.
Für eine einzige Rechteckschwingung liefert die Differentialgleichung U_out + R*C*dU_out/dt - U_in = 0
als Lösung U_out(t) als Ausgangsspannung des Tiefpasses
U_out(t) = U_0 * (1 - exp(-t/RC)) beim "Einschalten" des Rechteckpulses
U_out(t) = U_0 * exp(-t/RC) beim "Ausschalten" des Rechteckpulses

Wenn meine Frequenz w jetzt hoch ist (w*R*C >> 1) kann der Ladevorgang des Kondensators nicht abgeschlossen werden und es folgt die teilweise Entladung. Dann wird wieder geladen, da der nächste Rechteck-Puls kommt.

Nun meine Frage: rein theoretisch müsste sich der Kondensator nun um den gleichen Wert zusätzlich aufladen, wie im ersten Ladevorgang, sodass die Gesamtladung nun höher ist und nach vielen Rechteckpulsen eigentlich die Maximalspannung irgendwann erreicht wird und nun nur noch ein bisschen herumoszilliert wird.
In folgendem Bild

sieht man aber deutlich, dass der zweite Anstieg der Kurve nicht mehr um den gleichen Betrag wie beim ersten Anstieg ist und dadurch später nur um den Mittelwert oszilliert wird.

Wo ist mein Denkfehler? Könnt ihr mir bitte helfen?

Vielen Dank im Voraus!

Grüße

Chris

PS: Mir kommt gerade so ein Gedanke: Kann es daran liegen, dass die Differentialgleichung nur für einen ungeladenen Kondensator gilt, da bei einer Restladung dieser ja wieder als Spannungsquelle angesehen wird?

» PS: Mir kommt gerade so ein Gedanke: Kann es daran liegen, dass die
» Differentialgleichung nur für einen ungeladenen Kondensator gilt, da bei
» einer Restladung dieser ja wieder als Spannungsquelle angesehen wird?

Hi,

die Differentialgleichung stimmt schon für jeden einzelnen Vorgang, aber Du hast schon recht- es ändern sich jeweils die Anfangsbedingungen.
Durch die Gegenspannung des geladenen Kondensators verringert sich bei jedem neuen Ladevorgang jeweils der Ladestrom, und durch die höhere Kondensatorspannung zu Beginn jedes neuen Entladevorgangs erhöht sich der Entladestrom.
Das erklärt auch, dass natürlich nicht der Maximalwert der Eingangsspannung erreicht werden kann, sondern die Kondensatorspannung im eingeschwungenen Zustand letztlich um den Mittelwert schwankt.

Gruß
Bernhard

Hallo,

die DGL gilt uneingeschränkt für jeden Fall. Aber du warst unsauber bei der Lösung .

Die Lösung dieser DGL (inhomogen, mit konstanten Koeffizienten) erfolgt üblicherweise in zwei Schritten. Zuerst wird mit diesem "Lamdba-Ansatz" die homogene Lösung bestimmt und dann durch Variation der Konstanten die inhmogene Lösung ermittelt. Bei der im letzten Schritt durchzuführenden Integration ergibt sich natürlich eine Integrationskonstante, die üblicherweise durch Einsetzen der Anfangsbedingungen - also hier u_a(t=0) = U_C0 - bestimmt wird.

analog hierzu:
http://de.wikipedia.org/wiki/Variation_der_Konstanten#Beispiel

Lange Rede, kurzer Sinn: Die Lösung heißt richtig

u_out = U_0 + c * EXP(-t/RC)

mit c = (U_C0 - U0) für u_a(t=0) = U_C0.

und eingesetzt:

U_out(t) = U_C0 - (U_0 + U_C0) * exp(-t/RC) beim "Einschalten" des Rechteckpulses
U_out(t) = U_C0 * exp(-t/RC) beim "Ausschalten" des Rechteckpulses.

Grüße.

Übrigens:

Nach Fourier kann man dein unipolares Rechtecksignal in einen Gleichanteil und einen Wechselanteil zerlegen. Beide Signalanteile überlagern sich am Tiefpass nach dem Superpositionsprinzip.
Der Gleichanteil entspricht dem Mittelwert des Rechtecksignals, also hier U_0 * t_on / (t_on + t_off). Dieser Gleichanteil bestimmt die Umhüllende deiner Ladekurve. Daher lädt sich dein Kondensator bei deinem Rechteck mit dem Tastverhältnis 0.5 ziemlich genau auf 0.5 * U_0.
Der Wechselanteil des Signals erzeugt den beobachteten Ripple, der bei ausreichend hoher Frequenz immer kleiner und irgendwann vernachlässigbar wird.

Das ist die mathematische Grundlage der Pulsweitenmodulation.

Grüße.

Hallo BataillonDAmour,

vielen Dank für deine Antwort.

Stimmt, die Variation der Konstanten hab ich übersehen. Nun ist mir die Mathematik hinter meinem Problem klar.

Nochmals danke ud viele Grüße

Chris

Hi BernhardB,

vielen Dank für deine Antwort.

Mir fällt gerade noch ein Problem ein:
Für den Fall, dass die Frequenz w ungefähr genau das inverse der Zeitkonstanten tau = R*C ist (w*R*C = 1) lädt sich der Kondensator zunächst FAST bis zur Maximalladung und entlädt sich dann wieder nur teilweise. Stimmt es dann in diesem Fall, dass beim 2. (oder 3.) Laden dann die Maximalladung erreicht wird und bei dieser Frequenzeinstellung dann keine Osziallation um den Mittelwert erfolgt?
Oder wird auch in dem Fall die Maximalladung nie erreicht, da die folgenden Ladeströme wieder geringer sind?

Vielen Dank nochmal und Grüße

Chris

» Für den Fall, dass die Frequenz w ungefähr genau das inverse der
» Zeitkonstanten tau = R*C ist (w*R*C = 1) lädt sich der Kondensator
» zunächst FAST bis zur Maximalladung und entlädt sich dann wieder nur
» teilweise. Stimmt es dann in diesem Fall, dass beim 2. (oder 3.) Laden
» dann die Maximalladung erreicht wird und bei dieser Frequenzeinstellung
» dann keine Osziallation um den Mittelwert erfolgt?
» Oder wird auch in dem Fall die Maximalladung nie erreicht, da die
» folgenden Ladeströme wieder geringer sind?

Kurz zum Verständnis: das die Kondensatorspg. eine exp-Funktion ist erreicht sie den Endwert nie, sondern nähert sich nur asymptotisch
Gruß Michael