Formelsammlung: Winkel und Winkelfunktionen
Bezeichnungen der Formelzeichen
- \( \alpha, \beta, \gamma \): Winkel
- \( a, b, c \): Seitenlängen im Dreieck
- \( h \): Höhe im Dreieck
- \( r \): Radius des Kreises
- \( \sin \): Sinus
- \( \cos \): Kosinus
- \( \tan \): Tangens
- \( \cot \): Kotangens
Winkelfunktionen
- Sinus: \( \sin(\alpha) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}} \)
- Kosinus: \( \cos(\alpha) = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}} \)
- Tangens: \( \tan(\alpha) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}} \)
- Kotangens: \( \cot(\alpha) = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Gegenkathete}} \)
Beziehungen zwischen Winkelfunktionen
- \( \sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1 \)
- \( 1 + \tan^2(\alpha) = \frac{1}{\cos^2(\alpha)} \)
- \( 1 + \cot^2(\alpha) = \frac{1}{\sin^2(\alpha)} \)
Winkel im Dreieck
- Innenwinkelsumme: \( \alpha + \beta + \gamma = 180^\circ \)
Satz des Pythagoras (rechtwinkliges Dreieck)
- \( a^2 + b^2 = c^2 \)
Sinussatz
- \( \frac{a}{\sin(\alpha)} = \frac{b}{\sin(\beta)} = \frac{c}{\sin(\gamma)} \)
Kosinussatz
- \( c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(\gamma) \)
Tangenssatz
- \( \frac{a - b}{a + b} = \frac{\tan\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right)}{\tan\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right)} \)
Kreiswinkel
- Umfangswinkel: \( \alpha = \frac{1}{2} \beta \) (wenn \( \beta \) der zugehörige Zentriwinkel ist)
- Bogenlänge: \( s = r \cdot \alpha \) (im Bogenmaß)
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