Formelsammlung: Reihenstabilisierung

1. Z-Transformation

\[ X(z) = \sum_{n=0}^{\infty} x[n] \cdot z^{-n} \]

  • \( X(z) \): Z-transformierte Funktion
  • \( x[n] \): Zeitdiskretes Signal
  • \( z \): Komplexe Frequenzvariable

2. Stabilitätskriterium

Ein System ist stabil, wenn alle Pole der Übertragungsfunktion \( H(z) \) innerhalb des Einheitskreises liegen:
\[ |z_i| < 1 \]

  • \( z_i \): Pole der Übertragungsfunktion

3. Übertragungsfunktion

\[ H(z) = \frac{Y(z)}{X(z)} = \frac{\sum_{k=0}^{M} b_k \cdot z^{-k}}{1 + \sum_{j=1}^{N} a_j \cdot z^{-j}} \]

  • \( H(z) \): Übertragungsfunktion
  • \( Y(z) \): Ausgangssignal im Z-Bereich
  • \( X(z) \): Eingangssignal im Z-Bereich
  • \( b_k, a_j \): Koeffizienten des Systems
  • \( M, N \): Ordnung des Zählers bzw. Nenners

4. Rückkopplungssystem

Für ein einfaches Rückkopplungssystem gilt:
\[ H(z) = \frac{G(z)}{1 + G(z) \cdot H_f(z)} \]

  • \( G(z) \): Vorwärtspfadübertragungsfunktion
  • \( H_f(z) \): Rückkopplungspfadübertragungsfunktion

5. Diskrete Fourier-Transformation (DFT)

\[ X[k] = \sum_{n=0}^{N-1} x[n] \cdot e^{-j \frac{2\pi}{N} kn} \]

  • \( X[k] \): DFT des Signals
  • \( x[n] \): Zeitdiskretes Signal
  • \( N \): Anzahl der Punkte der DFT
  • \( k \): Frequenzindex
  • \( j \): Imaginäre Einheit

Diese Formeln bieten eine Grundlage für die Analyse und Stabilisierung von diskreten Systemen in der Signalverarbeitung.


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