Formelsammlung: Reihenstabilisierung
1. Z-Transformation
\[ X(z) = \sum_{n=0}^{\infty} x[n] \cdot z^{-n} \]
- \( X(z) \): Z-transformierte Funktion
- \( x[n] \): Zeitdiskretes Signal
- \( z \): Komplexe Frequenzvariable
2. Stabilitätskriterium
Ein System ist stabil, wenn alle Pole der Übertragungsfunktion \( H(z) \) innerhalb des Einheitskreises liegen:
\[ |z_i| < 1 \]
- \( z_i \): Pole der Übertragungsfunktion
3. Übertragungsfunktion
\[ H(z) = \frac{Y(z)}{X(z)} = \frac{\sum_{k=0}^{M} b_k \cdot z^{-k}}{1 + \sum_{j=1}^{N} a_j \cdot z^{-j}} \]
- \( H(z) \): Übertragungsfunktion
- \( Y(z) \): Ausgangssignal im Z-Bereich
- \( X(z) \): Eingangssignal im Z-Bereich
- \( b_k, a_j \): Koeffizienten des Systems
- \( M, N \): Ordnung des Zählers bzw. Nenners
4. Rückkopplungssystem
Für ein einfaches Rückkopplungssystem gilt:
\[ H(z) = \frac{G(z)}{1 + G(z) \cdot H_f(z)} \]
- \( G(z) \): Vorwärtspfadübertragungsfunktion
- \( H_f(z) \): Rückkopplungspfadübertragungsfunktion
5. Diskrete Fourier-Transformation (DFT)
\[ X[k] = \sum_{n=0}^{N-1} x[n] \cdot e^{-j \frac{2\pi}{N} kn} \]
- \( X[k] \): DFT des Signals
- \( x[n] \): Zeitdiskretes Signal
- \( N \): Anzahl der Punkte der DFT
- \( k \): Frequenzindex
- \( j \): Imaginäre Einheit
Diese Formeln bieten eine Grundlage für die Analyse und Stabilisierung von diskreten Systemen in der Signalverarbeitung.
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