Formelsammlung: Glättung und Siebung
1. Gleitender Mittelwert
Formel:
\[ \bar{x}_i = \frac{1}{N} \sum_{j=i-\frac{N-1}{2}}^{i+\frac{N-1}{2}} x_j \]
Formelzeichen:
- \(\bar{x}_i\): geglätteter Wert an Position \(i\)
- \(N\): Anzahl der Datenpunkte im Gleitfenster
- \(x_j\): Originalwert an Position \(j\)
2. Exponentielle Glättung
Formel:
\[ S_t = \alpha \cdot x_t + (1 - \alpha) \cdot S_{t-1} \]
Formelzeichen:
- \(S_t\): geglätteter Wert an Position \(t\)
- \(\alpha\): Glättungsfaktor (0 < \(\alpha\) < 1)
- \(x_t\): Originalwert an Position \(t\)
- \(S_{t-1}\): geglätteter Wert an Position \(t-1\)
3. Gewichteter gleitender Mittelwert
Formel:
\[ \bar{x}_i = \frac{\sum_{j=i-\frac{N-1}{2}}^{i+\frac{N-1}{2}} w_j \cdot x_j}{\sum_{j=i-\frac{N-1}{2}}^{i+\frac{N-1}{2}} w_j} \]
Formelzeichen:
- \(\bar{x}_i\): geglätteter Wert an Position \(i\)
- \(N\): Anzahl der Datenpunkte im Gleitfenster
- \(w_j\): Gewicht des Datenpunkts an Position \(j\)
- \(x_j\): Originalwert an Position \(j\)
4. Median-Filter
Formel:
\[ \tilde{x}_i = \text{Median}(x_{i-\frac{N-1}{2}}, \ldots, x_{i+\frac{N-1}{2}}) \]
Formelzeichen:
- \(\tilde{x}_i\): gefilterter Wert an Position \(i\)
- \(N\): Anzahl der Datenpunkte im Filterfenster
- \(x_j\): Originalwert an Position \(j\)
5. Fourier-Transformation (für Frequenzfilterung)
Formel:
\[ X(f) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-i 2 \pi f t} dt \]
Formelzeichen:
- \(X(f)\): Fourier-Transformierte bei Frequenz \(f\)
- \(x(t)\): Zeitabhängige Funktion
- \(i\): Imaginäre Einheit
- \(t\): Zeit
- \(f\): Frequenz
6. Inverse Fourier-Transformation
Formel:
\[ x(t) = \int_{-\infty}^{\infty} X(f) e^{i 2 \pi f t} df \]
Formelzeichen:
- \(x(t)\): Zeitabhängige Funktion
- \(X(f)\): Fourier-Transformierte bei Frequenz \(f\)
- \(i\): Imaginäre Einheit
- \(t\): Zeit
- \(f\): Frequenz
Diese Formeln decken die grundlegenden Methoden der Glättung und Siebung ab, die häufig in der Signalverarbeitung und Datenanalyse verwendet werden.
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