Der Wellenwiderstand einer Leitung

02.11.2007     09.11.2007     dangeoe (Einsteiger)     wellenwiderstand leitung kabel

Wer hat sich nicht schon mal gefragt, warum auf einem Koaxkabel 50 Ohm oder 75 Ohm steht. Misst man mit dem Multimeter zwischen Innenleiter und Mantel, kommt man bestimmt auf einige Mega- oder Gigaohm und zwischen Anfang und Ende am Innenleiter oder Mantel sind es höchstens einige Ohm. Wie kommt man auf die 75 Ohm bei Videoleitungen und 50 Ohm bei Laborkabeln?

Zum Verständnis ist ein kleines Gedankenspiel nötig:

Alle elektrische Größen, also auch Strom und Spannung, sind Größen, die sich physikalisch aus der elektromagnetischen Wechselwirkung erklären lassen (Maxwellsche Gleichungen). Auch Licht und chemische Vorgänge lassen sich auf diese Fundamentalkraft zurückführen. Die elektromagnetische Wechselwirkung ist jedoch nicht unendlich schnell, sondern sie ist durch die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum begrenzt. Das ist sehr genau messbar und unumstößlich. Somit sind alle elektrischen, magnetischen, chemischen, optischen… Vorgänge in ihrem räumlichen und zeitlichen Ablauf durch die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum begrenzt.

Von Bedeutung für eine Schaltung wird dies, wenn sie nicht unendlich klein ist, also eine räumliche Ausdehnung hat. Das klingt zunächst komisch, denn wie soll man sich eine unendlich kleine Schaltung vorstellen? Antwort: Garnicht!

Jede Schaltung ist räumlich ausgedehnt. Um es am Anfang einfach zu halten, wird die einfachste aller Schaltungen betrachtet: Die Leitung.

Nach obigen Überlegungen ist leicht einzusehen, dass wenn man z.B. an einem Koaxkabel von L = 1 m Länge vorne eine Spannung anlegt, diese frühestens nach

hinten anliegen kann. Durch den Aufbau des Kabels ist die Verzögerung um den Faktor 1,5 größer, also 5 ns/m. Dies ist gewollt und muss so sein (Die Erklärung ist für eine Einführung zu kompliziert). Wer glaubt, dies sei quasi keine Verzögerung, muss nur an seinen PC denken, in dem mittlerweile 1 Nanosekunde einer Ewigkeit gleichkommt.

Die Geschwindigkeit, mit der sich Spannung und Strom ausbreiten, sind also von imenser Bedeutung!
Was hat das ganze jetzt mit dem Wellenwiderstand zu tun?
Dazu betrachten wir nochmal oben erwähnten Spannungssprung in folgender Schaltung.

Zunächst liegen überall 0 V an. Die Leitung könnte jetzt genausogut ausgebaut werden, die Funktion der Schaltung würde nicht verändert. Wir lassen sie aber drin.
Jetzt springt vorne die Spannung von 0 V auf 1 V, nun liegt auch sofort eine Spannung am Leitungsanfang. (Ug und Rg werden als Bauelemente ohne räumliche Ausdehnung angenommen, d.h. sie verursachen keine Verzögerung.) Aber wie hoch ist die Spannung am Leitungsanfang? Mit dem Abschlusswiderstand darf man nicht rechnen, denn der ist für den Generator zum Sprungzeitpunkt unbekannt.
Antwort: Das Kabel ist so gebaut, dass es am Anfang 50 Ohm erscheinen lässt, wenn diese am Ende wirklich angeschlossen sind. Diesen angepassten Fall, dass Rg und RL auch 50 Ohm sind, nehmen wir an. Das heißt: Vorne liegen zum Sprungzeitpunkt 0,5 V an. Dieser Spannungssprung “fliegt” mit 1/v = 5 ns/m durch das Kabel und liegt nach L/v = 100 ns hinten am Abschlusswiderstand an. Nach dieser Zeit kann also das Kabel wieder als wirkungslos betrachtet werden, da wir uns nun wieder im Gleichspannungsbetrieb befinden. Man könnte es sich aus der Schaltung wegdenken, ohne diese verändert zu haben.

Was aber geschieht im Kabel während der Spannungssprung durchfliegt?
Man kann sich das Kabel als Reihenschaltung infinitesimaler längs liegender Induktivitäten und quer liegender Kapazitäten vorstellen:

Daraus ergiebt sich ein Induktivitätsbelag und ein Kapzitätsbelag. Diese stehen zusammen mit dem Dielektrikum, das zwischen Innenleiter und Schirm liegt in einem ganz bestimmten Verhältnis, sodass sich die oben gezeigten Eigenschaften bei Abschluss mit 50 Ohm ergeben. Ein 75 Ohm-Kabel hat also einen anderen Aufbau als 50 Ohm-Kabel, weil es physikalisch nur bei einem Abschlusswiderstandswert machbar ist, dass ein Kabel nur verzögert, aber die Phasenlage aller Frequenzen bis ca. 50 Ghz nicht verändert. Das heißt, wenn falsch abgeschlossen wird, wird die Phasenlage frequenzabhängig verändert. Um zu verstehen was das bedeutet, muss man die Fourierreihen bzw. die Integraltransformationen von Laplace verstanden haben, was an dieser Stelle zu weit weg vom Thema führen würde.
Die obige Vorstellung von einem Kabel ist allerdings nur ein Modell und entspricht daher der Realität nur begrenzt. Als Anschauung ist es trotzdem in Ordnung: Die elektrische Energie, also der Spannungssprung wird vorne angelegt. Es werden jetzt nacheinander die Kondensatoren geladen. Der Ladestrom ist jeweils durch die quer liegende Induktivität begrenzt, sodass die Spannung Ihre Zeit braucht, um durch die Schaltung zu wandern. Auch der Strom ist verzögert, da er solange über die Kondensatoren fließt, wie sie noch nicht bis auf die Sprunghöhe geladen sind.

Abschließend ist also zu sagen: Der Wellenwiderstand eines Kabels ergibt sich aus der Geometrie und den verwendeten Materialien. Der Induktivitäts- und Kapazitätsbelag sind nichts Unerwünschtes an einem Kabel, sondern es sind nötig Eigenschaften um hohe Frequenzen zu übertragen.

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